Polinomios

Polinomios

La ley asociativa de la multiplicación nos permite escribir el producto de tres (o más) factores sin paréntesis; en particular podemos considerar el producto de cualquier número finito, digamos, \(m\) , de factores todos iguales a \(A\) . Este producto depende solo de \(A\) y de \(m\) (y no, como acabamos de remarcar, de ningún agrupamiento de los factores); lo denotaremos por \(A^{m}\) . La justificación para esta notación es que, aunque en general la multiplicación de transformaciones no es conmutativa, para las potencias de una transformación sí tenemos las leyes usuales de exponentes, \(A^{n} A^{m}=A^{n+m}\) y \((A^{n})^{m}=A^{n m}\) . Observamos que \(A^{1}=A\) ; es costumbre también escribir, por definición, \(A^{0}=1\) . Con estas definiciones el cálculo de potencias de una transformación es casi exactamente el mismo que en la aritmética ordinaria. Podemos, en particular, definir polinomios en una transformación lineal. Así si \(p\) es cualquier polinomio con coeficientes escalares en una variable \(t\) , digamos \(p(t)=\alpha_{0}+\alpha_{1} t+\cdots+\alpha_{n} t^{n}\) , podemos formar la transformación lineal

\[p(A)=\alpha_{0} 1+\alpha_{1} A+\cdots+\alpha_{n} A^{n}.\] 

Las reglas para la manipulación algebraica de tales polinomios son fáciles. Así \(p(t) q(t)=r(t)\) implica \(p(A) q(A)=r(A)\) (de modo que, en particular, cualesquiera \(p(A)\) y \(q(A)\) son conmutativos); si \(p(t)=\alpha\) (idénticamente), generalmente escribiremos \(p(A)=\alpha\) (en lugar de \(p(A)=\alpha \cdot 1\) ); esto está en armonía con el uso de los símbolos \(0\) y \(1\) para transformaciones lineales.

Si \(p\) es un polinomio en dos variables y si \(A\) y \(B\) son transformaciones lineales, usualmente no es posible dar ninguna interpretación sensata a \(p(A, B)\) . El problema, por supuesto, es que \(A\) y \(B\) pueden no conmutar, e incluso un monomio simple, como \(s^{2} t\) , causará confusión. Si \(p(s, t)=s^{2} t\) , ¿qué deberíamos significar por \(p(A, B)\) ? ¿Debería ser \(A^{2} B\) , o \(A B A\) , o \(B A^{2}\) ? Es importante reconocer que hay una dificultad aquí; afortunadamente para nosotros no es necesario tratar de evitarla. Trabajaremos con polinomios en varias variables solo en conexión con transformaciones conmutativas, y entonces todo es simple. Observamos que si \(A B=B A\) , entonces \(A^{n} B^{m}=B^{m} A^{n}\) , y por lo tanto \(p(A, B)\) tiene un significado inequívoco para todo polinomio \(p\) . Las propiedades formales de la correspondencia entre transformaciones (conmutativas) y polinomios son tan válidas para varias variables como para una; omitimos los detalles.

Para un ejemplo del posible comportamiento de las potencias de una transformación miramos la transformación de diferenciación \(D\) en \(\mathcal{P}\) (o, igualmente, en \(\mathcal{P}_n\) , para algún \(n\) ). Es fácil ver que para todo entero positivo \(k\) , y para todo polinomio \(x\) en \(\mathcal{P}\) , tenemos \((D^{k} x)(t)=\frac{d^{k} x}{d t^{k}}\) . Observamos que sea lo que sea que \(D\) haga, disminuye el grado del polinomio sobre el que actúa en exactamente una unidad (suponiendo, por supuesto, que el grado sea \(\geq 1\) ). Sea \(x\) un polinomio de grado \(n-1\) , digamos; ¿cuál es \(D^{n} x\) ? O dicho de otra manera: ¿cuál es el producto de las dos transformaciones (conmutativas) \(D^{k}\) y \(D^{n-k}\) (donde \(k\) es cualquier entero entre \(0\) y \(n\) ), consideradas en el espacio \(\mathcal{P}_n\) ? Mencionamos este ejemplo para poner de manifiesto el hecho desconcertante implicado por la respuesta a la última pregunta; el producto de dos transformaciones puede anularse aunque ninguna de ellas sea cero. Una transformación no nula cuyo producto con alguna transformación no nula es cero se llama un divisor de cero.

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