Transformaciones como vectores

Procedemos ahora a derivar ciertas propiedades elementales de, y relaciones entre, transformaciones lineales en un espacio vectorial. Más particularmente, indicaremos varias formas de hacer nuevas transformaciones a partir de las antiguas; generalmente nos conformaremos con dar la definición de las nuevas transformaciones y omitiremos la prueba de linealidad.

Si \(A\) y \(B\) son transformaciones lineales, definimos su suma, \(S=A+B\) , por la ecuación \(S x=A x+B x\) (para todo \(x\) ). Observamos que la conmutatividad y asociatividad de la adición en \(\mathcal{V}\) implican inmediatamente que la adición de transformaciones lineales es conmutativa y asociativa. Mucho más que esto es verdadero. Si consideramos la suma de cualquier transformación lineal \(A\) y la transformación lineal \(0\) (definida en la sección anterior), vemos que \(A+0=A\) . Si, para cada \(A\) , denotamos por \(-A\) la transformación definida por \((-A) x=-(A x)\) , vemos que \(A+(-A)=0\) , y que la transformación \(-A\) , así definida, es la única transformación lineal \(B\) con la propiedad de que \(A+B=0\) . En resumen: las propiedades de un espacio vectorial, descritas en los axiomas (A) de Sección: Espacios vectoriales , aparecen nuevamente en el conjunto de todas las transformaciones lineales en el espacio; el conjunto de todas las transformaciones lineales es un grupo abeliano con respecto a la operación de adición.

Continuamos en el mismo espíritu. Para entonces no sorprenderá a nadie que los axiomas (B) y (C) de espacios vectoriales también sean satisfechos por el conjunto de todas las transformaciones lineales. Lo son. Para cualquier \(A\) , y cualquier escalar \(\alpha\) , definimos el producto \(\alpha A\) por la ecuación \((\alpha A) x=\alpha(A x)\) . Los axiomas (B) y (C) se verifican inmediatamente; resumimos como sigue.

Teorema 1. El conjunto de todas las transformaciones lineales en un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial.

Usualmente ignoraremos este teorema; la razón es que podemos decir mucho más sobre transformaciones lineales, y el mero hecho de que formen un espacio vectorial se usa solo muy raramente. Lo "mucho más" que podemos decir es que existe para transformaciones lineales una definición más o menos decente de multiplicación, que discutimos en la sección siguiente.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Pruebe que cada una de las correspondencias descritas a continuación es una transformación lineal.

\(\mathcal{V}\) es el conjunto \(\mathbb{C}\) de números complejos considerados como un espacio vectorial real; \(A x\) es el conjugado complejo de \(x\) .
\(\mathcal{V}\) es \(\mathcal{P}\) ; si \(x\) es un polinomio, entonces \((A x)(t)=x(t+1)-x(t)\) .
\(\mathcal{V}\) es el producto tensorial \(k\) -veces de un espacio vectorial consigo mismo; \(A\) es tal que \[A(x_{1} \otimes \cdots \otimes x_{k})=x_{\pi(1)} \otimes \cdots \otimes x_{\pi(k)},\] donde \(\pi\) es una permutación de \(\{1, \ldots, k\}\) .
\(\mathcal{V}\) es el conjunto de todas las formas \(k\) -lineales sobre un espacio vectorial; \[(A w)(x_{1}, \ldots, x_{k})=w(x_{\pi(1)}\ldots, x_{\pi(k)}),\] donde \(\pi\) es una permutación de \(\{1, \ldots, k\}\) .
\(\mathcal{V}\) es el conjunto de todas las formas \(k\) -lineales sobre un espacio vectorial; si \(w\) está en \(\mathcal{V}\) , entonces \(A w=\sum \pi w\) , donde la suma se extiende sobre todas las permutaciones \(\pi\) en \(\mathcal{S}_{k}\) .
Lo mismo que (e) excepto que \(A w=\sum(\operatorname{sgn} \pi)\, \pi w\) .

Ejercicio 2. Pruebe que si \(\mathcal{V}\) es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces el espacio de todas las transformaciones lineales en \(\mathcal{V}\) es de dimensión finita, y encuentre su dimensión.

Ejercicio 3. El concepto de "transformación lineal," como se define en el texto, es demasiado especial para algunos propósitos. Según una definición más general, una transformación lineal de un espacio vectorial \(\mathcal{U}\) a un espacio vectorial \(\mathcal{V}\) sobre el mismo cuerpo es una correspondencia \(A\) que asigna a cada vector \(x\) en \(\mathcal{U}\) un vector \(A x\) en \(\mathcal{V}\) de manera que \[A(\alpha x+\beta y)=\alpha A x+\beta A y\] Pruebe que cada una de las correspondencias descritas a continuación es una transformación lineal en este sentido generalizado.

\(\mathcal{V}\) es el cuerpo de escalares de \(\mathcal{U}\) ; \(A\) es un funcional lineal sobre \(\mathcal{U}\) .
\(\mathcal{U}\) es la suma directa de \(\mathcal{V}\) con algún otro espacio; \(A\) asigna cada par en \(\mathcal{U}\) a su primera coordenada.
\(\mathcal{V}\) es el cociente de \(\mathcal{U}\) módulo un subespacio; \(A\) asigna cada vector en \(\mathcal{U}\) a la clase que determina.
Sea \(w\) un funcional bilineal sobre una suma directa \(\mathcal{U} \oplus \mathcal{V}_{0}\) . Sea \(\mathcal{V}\) el dual de \(\mathcal{V}_{0}\) , y defina \(A\) como la correspondencia que asigna a cada \(x_{0}\) en \(\mathcal{U}\) el funcional lineal sobre \(\mathcal{V}_{0}\) obtenido de \(w\) estableciendo su primer argumento igual a \(x_{0}\) .

Ejercicio 4.

Supongamos que \(\mathcal{U}\) y \(\mathcal{V}\) son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Si \(A\) y \(B\) son transformaciones lineales de \(\mathcal{U}\) a \(\mathcal{V}\) , si \(\alpha\) y \(\alpha\) son escalares, y si \[C x=\alpha A x+\beta B x\] para cada \(x\) en \(\mathcal{U}\) , entonces \(C\) es una transformación lineal de \(\mathcal{U}\) a \(\mathcal{V}\) .
Si escribimos, por definición, \(C=\alpha A+\beta B\) , entonces el conjunto de todas las transformaciones lineales de \(\mathcal{U}\) a \(\mathcal{V}\) se convierte en un espacio vectorial con respecto a esta definición de operaciones lineales.
Pruebe que si \(\mathcal{U}\) y \(\mathcal{V}\) son de dimensión finita, entonces también lo es el espacio de todas las transformaciones lineales de \(\mathcal{U}\) a \(\mathcal{V}\) , y encuentre su dimensión.

Ejercicio 5. Supongamos que \(\mathcal{M}\) es un subespacio de dimensión \(m\) de un espacio vectorial de dimensión \(n\) . Pruebe que el conjunto de aquellas transformaciones lineales \(A\) en \(\mathcal{V}\) para las cuales \(A x=0\) siempre que \(x\) esté en \(\mathcal{M}\) es un subespacio del conjunto de todas las transformaciones lineales en \(\mathcal{V}\) , y encuentre la dimensión de ese subespacio.