Productos

Productos

El producto \(P\) de dos transformaciones lineales \(A\) y \(B\) , \(P=A B\) , se define por la ecuación \(P x=A(B x)\) .

La noción de multiplicación es fundamental para todo lo que sigue. Antes de dar algunos ejemplos para ilustrar el significado de productos de transformaciones, observemos las implicaciones de la notación, \(P=A B\) . Decir que \(P\) es una transformación significa, por supuesto, que dado un vector \(x\) , \(P\) hace algo con él. Lo que hace se descubre operando en \(x\) con \(B\) , es decir, encontrando \(B x\) , y luego operando en el resultado con \(A\) . En otras palabras, si observamos el símbolo de una transformación como una receta para realizar cierto acto, entonces el símbolo para el producto de dos transformaciones se lee de derecha a izquierda. El orden de transformar por \(A B\) significa transformar primero por \(B\) y luego por \(A\) . Esto puede parecer como si hiciéramos demasiado alboroto por un punto pequeño; sin embargo, como pronto veremos, la multiplicación de transformaciones no es, en general, conmutativa, y el orden en que transformamos hace mucha diferencia.

El ejemplo más notorio de no conmutatividad se encuentra en el espacio \(\mathcal{P}\) . Consideramos las transformaciones de diferenciación y multiplicación \(D\) y \(T\) , definidas por \((D x)(t)=\frac{d x}{d t}\) y \((T x)(t)=t x(t)\) ; tenemos \[(D T x)(t)=\frac{d}{d t}(t x(t))=x(t)+t \frac{d x}{d t}\] y \[(T D x)(t)=t \frac{d x}{d t}.\] En otras palabras, no solo es falso que \(D T=T D\) (de modo que \(D T-T D=0\) ), sino que, de hecho, \((D T-T D) x=x\) para todo \(x\) , de modo que \(D T-T D=1\) .

Sobre la base de los ejemplos en Sección: Transformaciones lineales , el lector debería poder construir muchos ejemplos de pares de transformaciones no conmutativas. Los que están acostumbrados a pensar en transformaciones lineales geométricamente pueden, por ejemplo, convencerse fácilmente de que el producto de dos rotaciones de \(\mathbb{R}^{3}\) (alrededor del origen) depende en general del orden en que se realizan.

La mayoría de las propiedades algebraicas formales de la multiplicación numérica (con la excepción ya mencionada de la conmutatividad) son válidas en el álgebra de transformaciones. Así tenemos

\begin{align} A 0 & =0 A=0, \tag{1}\\ A 1 & =1 A=A, \tag{2}\\ A(B+C) & =A B+A C, \tag{3}\\ (A+B) C & =A C+B C, \tag{4}\\ A(B C) & =(A B) C. \tag{5} \end{align} 

Las pruebas de todas estas identidades son consecuencias inmediatas de las definiciones de adición y multiplicación; para ilustrar el principio probamos (3), una de las leyes distributivas. La prueba consiste en la siguiente computación:

\begin{align} \big(A(B+C)\big) x &= A\big((B+C) x\big)\\ &= A(B x+C x) \\ &= A(B x)+A(C x) \\ &= (A B) x+(A C) x \\ &= (A B+A C) x \end{align}