Ciclos

Ciclos

Un ejemplo simple de una permutación se obtiene de la siguiente manera: elegir dos enteros distintos cualesquiera entre 1 y k, digamos p y q, y escribir τ(p) = q, τ(q) = p, τ(i) = i si i≠p,q.

Una permutación como esta se llama transposición porque intercambia dos elementos.

Más generalmente, sea a1,...,ak sean k elementos distintos de {1,...,n}. Consideramos la permutación σ definida por σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, ..., σ(ak-1) = ak, σ(ak) = a1, σ(i) = i si i∉{a1,...,ak}.

Una permutación como esta se llama ciclo k o un ciclo de longitud k. Denotamos un ciclo por (a1a2...ak).

Tenga en cuenta que (a1a2...ak) = (a2a3...aka1) = ..., por lo que hay varias formas de escribir el mismo ciclo.

Cada transposición es un 2-ciclo. El ciclo de identidad σ(i)=i para todo i se considera un 1-ciclo.

Ciclos disjuntos se conmutan. Es decir, si (a1...ak) y (b1...bm) son ciclos con {a1,...,ak} ∩ {b1,...,bm} = ∅, entonces (a1...ak)(b1...bm) = (b1...bm)(a1...ak).

Cada permutación se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos. Esta representación es única excepto por el orden en que escribimos los ciclos.

Paridad de una permutación

Una transposición cambia la paridad de una permutación. Es decir, si σ es cualquier permutación y τ es una transposición, entonces la paridad de στ es opuesta a la paridad de σ.

Podemos escribir cualquier permutación como un producto de transposiciones. La paridad de una permutación está bien definida: no depende de cómo escribamos una permutación como un producto de transposiciones.

Permutaciones pares e impares

Una permutación con paridad par se llama permutación par. Una permutación con paridad impar se llama permutación impar.