Cuerpos

Cuerpos

En lo que sigue, tendremos ocasión de usar varias clases de números (tales como la clase de todos los números reales o la clase de todos los números complejos). Puesto que no debemos, en esta etapa inicial, comprometernos con ninguna clase específica, adoptaremos el artificio de referirnos a los números como escalares. El lector no perderá nada esencial si interpreta consistentemente los escalares como números reales o como números complejos; en los ejemplos que estudiaremos, ocurrirán ambas clases. Para ser específicos (y también para operar al nivel apropiado de generalidad), procedemos a enumerar todos los hechos generales sobre escalares que necesitaremos asumir.

(A) A cada par, $\alpha$ y $\beta$, de escalares le corresponde un escalar $\alpha +\beta$, llamado la suma de $\alpha$ y $\beta$, de tal forma que

1. la adición es conmutativa, $\alpha +\beta =\beta +\alpha$,
2. la adición es asociativa, $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma$,
3. existe un escalar único $0$ (llamado cero) tal que $\alpha +0=\alpha$ para cada escalar $\alpha$, y
4. a cada escalar $\alpha$ le corresponde un escalar único $-\alpha$ tal que $\alpha +(-\alpha )=0$.

(B) A cada par, $\alpha$ y $\beta$, de escalares le corresponde un escalar $\alpha \beta$, llamado el producto de $\alpha$ y $\beta$, de tal forma que

1. la multiplicación es conmutativa, $\alpha \beta =\beta \alpha$,
2. la multiplicación es asociativa, $\alpha (\beta \gamma )=(\alpha \beta )\gamma$,
3. existe un escalar no nulo único $1$ (llamado uno) tal que $\alpha 1=\alpha$ para cada escalar $\alpha$, y
4. a cada escalar no nulo $\alpha$ le corresponde un escalar único ${\alpha }^{-1}$ (o $\frac{1}{\alpha }$) tal que $\alpha {\alpha }^{-1}=1$.

(C) La multiplicación es distributiva respecto de la adición, $\alpha (\beta +\gamma )$ $=\alpha \beta +\alpha \gamma$.

Si la adición y la multiplicación se definen en algún conjunto de objetos (escalares) de modo que se satisfacen las condiciones (A), (B) y (C), entonces ese conjunto (junto con las operaciones dadas) se llama un cuerpo. Así, por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales (con las definiciones ordinarias de suma y producto) es un cuerpo, y lo mismo es cierto para el conjunto $ℝ$ de todos los números reales y el conjunto $ℂ$ de todos los números complejos.