Cuerpos

Cuerpos

En lo que sigue, tendremos ocasión de usar varias clases de números (tales como la clase de todos los números reales o la clase de todos los números complejos). Puesto que no debemos, en esta etapa inicial, comprometernos con ninguna clase específica, adoptaremos el artificio de referirnos a los números como escalares. El lector no perderá nada esencial si interpreta consistentemente los escalares como números reales o como números complejos; en los ejemplos que estudiaremos, ocurrirán ambas clases. Para ser específicos (y también para operar al nivel apropiado de generalidad), procedemos a enumerar todos los hechos generales sobre escalares que necesitaremos asumir.

(A) A cada par, \(\alpha\) y \(\beta\), de escalares le corresponde un escalar \(\alpha+\beta\), llamado la suma de \(\alpha\) y \(\beta\), de tal forma que

  1. la adición es conmutativa, \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\),
  2. la adición es asociativa, \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\),
  3. existe un escalar único \(0\) (llamado cero) tal que \(\alpha+0=\alpha\) para cada escalar \(\alpha\), y
  4. a cada escalar \(\alpha\) le corresponde un escalar único \(-\alpha\) tal que \(\alpha+(-\alpha)=0\).

(B) A cada par, \(\alpha\) y \(\beta\), de escalares le corresponde un escalar \(\alpha \beta\), llamado el producto de \(\alpha\) y \(\beta\), de tal forma que

  1. la multiplicación es conmutativa, \(\alpha \beta=\beta \alpha\),
  2. la multiplicación es asociativa, \(\alpha(\beta \gamma)=(\alpha \beta) \gamma\),
  3. existe un escalar no nulo único \(1\) (llamado uno) tal que \(\alpha 1=\alpha\) para cada escalar \(\alpha\), y
  4. a cada escalar no nulo \(\alpha\) le corresponde un escalar único \(\alpha^{-1}\) (o \(\frac{1}{\alpha}\)) tal que \(\alpha \alpha^{-1}=1\).

(C) La multiplicación es distributiva respecto de la adición, \(\alpha(\beta+\gamma)\) \(=\alpha \beta+\alpha \gamma\).

Si la adición y la multiplicación se definen en algún conjunto de objetos (escalares) de modo que se satisfacen las condiciones (A), (B) y (C), entonces ese conjunto (junto con las operaciones dadas) se llama un cuerpo. Así, por ejemplo, el conjunto \(\mathbb{Q}\) de todos los números racionales (con las definiciones ordinarias de suma y producto) es un cuerpo, y lo mismo es cierto para el conjunto \(\mathbb{R}\) de todos los números reales y el conjunto \(\mathbb{C}\) de todos los números complejos.